バッコ博士の構造塾

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仮想仕事の原理による梁のたわみの計算例

構造設計者であれば、梁のたわみの公式の基本的なものは暗記しています。しかし、たまに忘れてしまう時もあります。そんな時、自分で導出できれば公式集を持ち歩く必要はありません。

 

ここでは「仮想仕事の原理」を用いて、片持ち梁と単純梁に集中荷重と等分布荷重が作用したときの曲げによるたわみ量と回転角を導出してみます。

 

 

片持ち梁先端に集中荷重が作用する場合

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①:長さlの片持ち梁の先端に集中荷重Pが作用しています。梁は一様断面で、ヤング係数および断面二次モーメントはそれぞれE、Iとします。

 

②:集中荷重Pによる曲げモーメントは直線状に変化します。

 

③:変形を知りたい位置(梁の先端)に単位荷重を加えます。

 

④:単位荷重による曲げモーメントは直線状に変化します。

 

⑤:回転角を知りたい位置(梁の先端)に単位曲げモーメントを加えます。

 

⑥:単位モーメント荷重による曲げモーメントは一様になります。

 

⑦:②の集中荷重Pによる曲げモーメントと④の単位荷重による曲げモーメントを乗じたものをEIで除し、梁の長さ全域に渡って積分したものが変位になります。

 

⑧:②の集中荷重Pによる曲げモーメントと⑥の単位モーメント荷重による曲げモーメントを乗じたものをEIで除し、梁の長さ全域に渡って積分したものが回転角になります。

 

片持ち梁に等分布荷重が作用する場合

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①:長さlの片持ち梁に等分布荷重wが作用しています。梁は一様断面で、ヤング係数および断面二次モーメントはそれぞれE、Iとします。

 

②:梁の任意の位置での曲げモーメントを算出するため、左端からxのところで自由体を切り出します。

 

③:x位置での等分布荷重の和が中心位置に作用するので、曲げモーメントはx2に比例します。

 

④:曲げモーメントは2次曲線状に変化します。

 

⑤:④の等分布荷重wによる曲げモーメントと、前章の④の単位荷重による曲げモーメントを乗じたものをEIで除し、梁の長さ全域に渡って積分したものが変位になります。

 

⑥:④の等分布荷重wよる曲げモーメントと、前章の⑥の単位モーメント荷重による曲げモーメントを乗じたものをEIで除し、梁の長さ全域に渡って積分したものが回転角になります。

 

単純梁中央に集中荷重が作用する場合

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①:長さlの単純梁の中央に集中荷重Pが作用しています。梁は一様断面で、ヤング係数および断面二次モーメントはそれぞれE、Iとします。

 

②③:集中荷重Pより左側を考えます。曲げモーメントは直線状に変化し、中央で最大になります。

 

④:変形を知りたい位置(梁の中央)に単位荷重を加えます。

 

⑤:単位荷重より左側を考えます。曲げモーメントは直線状に変化します。

 

⑥:②③の集中荷重Pによる曲げモーメントと⑤の単位荷重による曲げモーメントを乗じたものをEIで除し、梁の長さ全域に渡って積分したものが変位になります。左右対称なので、左側半分で積分したものを2倍しています。

 

⑦:回転角を知りたい位置(梁の左端)に単位曲げモーメントを加えます。

 

⑧⑨:左端で曲げモーメントは最大となり、右端でゼロになるよう直線状に変化します。

 

⑩:集中荷重Pによる曲げモーメントを表す式は真ん中より左か右かで変わります。③では左側のみ求めたので、ここでは右側について求めます。

 

⑪⑫:左端からxの位置でのモーメントの釣り合いから求めることができます。

 

⑬:③⑫の集中荷重Pによる曲げモーメントと⑨の単位モーメント荷重による曲げモーメントを乗じたものをEIで除し、梁の長さ全域に渡って積分したものが回転角になります。真ん中で式が切り替わるので、積分範囲もそれに合わせて変える必要があります。

 

単純梁に等分布荷重が作用する場合

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①:長さlの単純梁に等分布荷重wが作用しています。梁は一様断面で、ヤング係数および断面二次モーメントはそれぞれE、Iとします。

 

②:梁の任意の位置での曲げモーメントを算出するため、左端からxのところで自由体を切り出します。反力は等分布荷重に梁の長さを乗じたものの半分です。

 

③:x位置での等分布荷重の和が中心位置に、反力が端部に作用します。

 

④:曲げモーメントの釣り合いから任意の位置での曲げモーメントが求まります。

 

⑤:曲げモーメントは2次曲線状に変化し、中央で最大になります。

 

⑥:⑤の等分布荷重wによる曲げモーメントと前章の③の単位荷重による曲げモーメントを乗じたものをEIで除し、梁の長さ全域に渡って積分したものが変位になります。左右対称なので、左側半分で積分したものを2倍しています。

 

⑦:⑤の等分布荷重wによる曲げモーメントと前章の⑨の単位モーメント荷重による曲げモーメントを乗じたものをEIで除し、梁の長さ全域に渡って積分したものが回転角になります。